Новый обскурантизм и российское просвещение

Американские коллеги объяснили мне, что низкий уровень общей культуры и школьного образования в их стране — сознательное достижение ради экономических целей. Дело в том, что, начитавшись книг, образованный человек становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Моцарта или Ван Гога, Шекспира или теоремы. От этого страдает экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев жизни — вот они и стремятся не допустить культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают им манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом).

© В.И. Арнольд, академик РАН. Один из крупнейших математиков XX века. (Из статьи «Новый обскурантизм и российское просвещение»)

Владимир Игоревич Арнольд

Новый обскурантизм
и Российское просвещение

Моему Учителю — Андрею Николаевичу Колмогорову посвящаю

«Не тронь мои круги» — сказал Архимед убивавшему его римскому солдату. Эта пророческая фраза вспомнилась мне в Государственной Думе, когда председательствовавший на заседании Комитета по образованию (22 октября 2002 года) прервал меня словами: «У нес не Академия наук, где можно отстаивать истины, а Государственная Дума, где всё основано на том, что у разных людей по разным вопросам разные мнения».

Мнение, которое я отстаивал, состояло в том, что трижды семь — двадцать один, и что обучение наших детей как таблице умножения, так и сложению однозначных чисел и даже дробей — государственна необходимость. Я упомянул о недавнем введении в штате Калифорния (по инициативе нобелевского лауреата, специалиста по трансурановой физике Глена Сиборга) нового требования к поступающим в университеты школьникам: нужно уметь самостоятельно делить число 111 на 3 (без компьютера).

Слушатели в Думе, видимо, разделить не смогли, а потому не поняли ни меня, ни Сиборга: в «Известиях» при доброжелательном изложении моей фразы число «сто одиннадцать» заменили на «одиннадцать» (от чего вопрос становится гораздо более трудным, так как одиннадцать на три не делится).

С торжеством обскурантизма я столкнулся, прочитав в «Независимой газете» прославляющую вновь построенные под Москвой пирамиды статью «Ретрограды и шарлатаны», где

Российская Академия Наук объявлялась собранием тормозящих развитие наук ретроградов (напрасно пытающихся всё объяснять своими «законами природы»). Должен сказать, что я, видимо, тоже ретроград, так как всё ещё верю в законы природы и считаю, что Земля вертится вокруг своей оси и вокруг Солнца, и что младшим школьникам нужно продолжать объяснять, почему зимой холодно, а летом тепло, не позволяя уровню нашего школьного образования опускаться ниже достигавшегося в церковно-приходских школах до революции (а именно к подобному снижению уровн образования стремятся, ссылаясь на действительно низкий американский школьный уровень, наши нынешние реформаторы).

Американские коллеги объяснили мне, что низкий уровень общей культуры и школьного образования в их стране — сознательное достижение ради экономических целей. Дело в том, что, начитавшись книг, образованный человек становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Моцарта или Ван Гога, Шекспира или теоремы. От этого страдает экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев жизни — вот они и стремятся не допустить культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают им манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом).

Столкнувшись с антинаучной пропагандой и в России, я решил посмотреть на пирамиду, построенную недавно километрах в двадцати от моего дома, и поехал туда на велосипеде через вековые сосновые леса междуречья Истры и Москвы-реки. Здесь мне встретилась трудность: хотя Пётр Великий и запретил вырубать леса ближе двухсот вёрст от Москвы, на моём пути недавно огородили и изуродовали несколько лучших квадратных километров соснового бора (как мне объяснили местные деревенские жители, это сделал «известный [всем, кроме меня! — В. А.] бандит Пашка»). А ведь ещё лет двадцать назад, когда я добирал на этой застроенной теперь просеке ведро

малины, меня обошло, сделав полукруг метров десяти радиусом, целое стадо шедших по просеке кабанов.

Подобные застройки идут сейчас всюду. Недалеко от моего дома в своё время население не допустило (используя даже телевизионные протесты) застройку леса монгольскими и другими чиновниками. Но с тех пор положение изменилось: бывшие раньше правительственно-партийными посёлки захватывают у всех на глазах новые квадратные километры древнего леса, и никто уже и не протестует (в средневековой Англии «огораживания» вызывали восстания!).

Правда, в соседнем со мной селе Солослове против застройки леса пытался возражать один член сельсовета. И тогда среди бела дня приехала машина с вооружёнными бандитами, которые его прямо в деревне, дома и застрелили. И застройка в результате состоялась.

В другой соседней деревне, Дарьине, новой застройке особняками подверглось целое поле. Отношение народа к этим событиям ясно из имени, которое они в деревне дали этому застроенному полю (имени, к сожалению, ещё не отражённому на картах): «воровское поле».

Новые автомобилизированные жители этого поля превратили в свою противоположность ведущее от нас на станцию Перхушково шоссе. Автобусы по нему за последние годы почти перестали ходить. Вначале новые жители-автомобилисты собирали на конечной станции деньги для водителя автобуса, чтобы он объявлял автобус «неисправным» и пассажиры платили бы частникам. По этому шоссе носятся теперь с огромной скоростью (и по чужой, часто, полосе) автомобили новых жителей «поля». И я, идя на станцию за пять вёрст пешком, рискую быть сшибленным, подобно моим многочисленным предшественникам-пешеходам, места гибели которых были ещё недавно отмечены на обочинах венками. Электрички, впрочем, теперь тоже порой не останавливаются на предусмотренных расписанием станциях.

Прежде милиция пыталась измерять скорость убийц-автомобилистов и препятствовать им, но после того, как измерявший скорость радаром милиционер был застрелен охранником проезжавшего, останавливать автомобили никто больше не решается. Время от времени я нахожу прямо на шоссе стреляные гильзы, но в кого здесь стреляли — не ясно. Что же касается венков над местами гибели пешеходов, то все их недавно заменили объявлениями «Свалка мусора запрещена», повешенными на тех же деревьях, где прежде были венки с именами сваленных.

По старинной тропе от Аксиньина до Чеснокова, используя гати, проложенные ещё Екатериной II, я добрался до пирамиды и увидел внутри неё «стеллажи для зарядки бутылок и других объектов оккультной интеллектуальной энергией». Инструкция в несколько квадратных метров величиной перечисляла пользу от несколькочасового пребывания предмета или больного гепатитом А или В в пирамиде (в газете я читал, что кто-то даже отправил за народные деньги многокилограммовый груз «заряженных» пирамидой камней на космическую станцию).

Но составители этой инструкции проявили и неожиданную для мен честность: они написали, что толпиться в очереди к стеллажам внутри пирамиды не стоит, так как <в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект будет таким же». Это, я думаю, — совершенная правда.

Так что, как настоящий «ретроград», я считаю всё это пирамидальное предприятие вредной антинаучной рекламой магазина по продаже «объектов для заряжания».

Но обскурантизм шёл вслед за научными достижениями всегда, начиная с древности. Ученик Аристотеля, Александр Филиппович Македонский, сделал ряд «научных» открытий (описанных его спутником, Арианом, в «Анабазисе»). Например, он открыл исток реки Нил: по его словам, это Инд. «Научные» доказательства были такими: » Это — единственные две большие реки, которые кишмя кишат крокодилами» (и подтверждение: «Вдобавок, берега обеих рек заросли лотосами»).

Впрочем, это не единственное его открытие: он «обнаружил», также, что река Оксус (сегодня называемая Аму-Дарьёй) «впадает — с севера, повернув около Урала, — в Меотийское болото понта Эвксинского, где и называется Танаисом» («Та-наис» — это Дон, а «Меотийское болото» — Азовское море). Влияние обскурантистских идей на события не всегда ничтожно:

Александр из Согдианы (то есть Самарканда) пошёл не дальше на Восток, в Китай, как он сперва хотел, а на юг, в Индию, опасаясь водной преграды, соединяющей, по его третьей теории, Каспийское («Гирканское») море с Индийским океаном (в районе Бенгальского залива). Ибо он считал, что моря, «по определению», — это заливы океана. Вот к каким «наукам» нас ведут.

Хочется выразить надежду, что наши военные столь сильному влиянию обскурантистов не подвергнутся (они даже помогли мне спасти геометрию от попыток «реформаторов» изгнать её из школы). Но и сегодняшние попытки понизить уровень школьного обучения в России до американских стандартов крайне опасны и для страны, и для мира.

В сегодняшней Франции 20% новобранцев в армии полностью безграмотны, не понимают письменных приказов офицеров (и могут послать свои ракеты с боеголовками совсем не в ту сторону). Да минует нас чаша сия! Наши пока ещё читают, но «реформаторы» хотят это прекратить: «И Пушкин, и Толстой — это слишком много!» — пишут они.

Описывать, как планируют они ликвидировать наше традиционно высококачественное математическое школьное образование, мне, как математику, было бы слишком легко. Перечислю вместо этого несколько аналогичных мракобесных идей, касающихся обучения другим предметам: экономике, праву, обществоведению, литературе (предметы, правда, они предлагают вообще все в школе отменить).

В опубликованном Министерством образования России двухтомном проекте «Стандартов общего образования» приведён большой список тем, знания которых у обучаемых предлагается перестать требовать. Именно этот список даёт самое яркое представление об идеях «реформаторов» и о том, от каких «излишних» знаний они стремятся «защитить» следующие поколения.

Я воздержусь от политических комментариев, но вот типичные примеры якобы «излишних» сведений, выписанные из четырёхсотстраничного проекта «Стандарты»:

• Конституция СССР;
• фашистский «новый порядок» на оккупированных территориях;
• Троцкий и троцкизм;
• основные политические партии;
• христианская демократия;
• инфляция;
• прибыль;
• валюта;
• ценные бумаги;
• многопартийность;
• гарантии прав и свобод;
• правоохранительные органы;
• деньги и другие ценные бумаги;
• формы государственно-территориального устройства Российской Федерации;
• Ермак и присоединение Сибири;
• внешняя политика России (XVII, XVIII, XIX и XX веков);
• польский вопрос;
• Конфуций и Будда;
• Цицерон и Цезарь;
• Жанна д’Арк и Робин Гуд;
• физические и юридические лица;
• правовой статус человека в демократическом правовом государстве;
• разделение властей;
• судебная система;
• самодержавие, православие и народность (теория Уварова);
• народы России;
• христианский и исламский мир;
• Людовик XIV;
• Лютер;
• Лойола;
• Бисмарк;
• Государственная Дума;
• безработица;
• суверенитет;
• фондовый рынок (биржа);
• доходы государства;
• доходы семьи.

«Обществоведение», «история», «экономика» и «право», лишённые обсуждения всех этих понятий — просто формальные богослужения, бесполезные для обучаемых. Во Франции я опознаю такого рода теологическую болтовню на абстрактные темы по ключевому набору слов: «Франция, как старша дочь католической церкви…» (далее может следовать что угодно, например: «… не нуждается в расходах на науку, так как учёные у нас уже были и ещё есть»), как я это слышал на заседании Национального Комитета Республики Франции по Науке и Исследованиям, членом которого меня назначил Министр Науки, Исследований и Технологии Республики Франции.

Чтобы не быть односторонним, приведу ещё список «нежелательных» (в том же смысле «недопустимости» серьёзного их изучения) авторов и произведений, упоминаемых в этом качестве позорным «Стандартом»:

• Глинка;
• Чайковский;
• Бетховен;
• Моцарт;
• Григ;
• Рафаэль;
• Леонардо да Винчи;
• Рембрандт;
• Ван Тог;
• Омар Хайям;
• «Том Сойер»;
• «Оливер Твист»;
• Сонеты Шекспира;
• «Путешествие из Петербурга в Москву» Радищева;
• «Стойкий оловянный солдатик»;
• «Гобсек»;
• «Отец Горио»;
• «Отверженные»;
• «Белый клык»;
• «Повести Белкина»;
• «Борис Годунов»;
• «Полтава»;
• «Дубровский»;
• «Руслан и Людмила»;
• «Свинья под дубом»;
• «Вечера на хуторе близ Диканьки»;
• «Лошадиная фамилия»;
• «Кладовая солнца»;
• «Мещёрская сторона»;
• «Тихий Дон»;
• «Пигмалион»;
• «Гамлет»;
• «Фауст»;
• «Прощай, оружие»;
• «Дворянское гнездо»;
• «Дама с собачкой»;
• «Попрыгунья»;
• «Облако в штанах»;
• «Чёрный человек»;
• «Бег»;
• «Раковый корпус»;
• «Ярмарка тщеславия»;
• «По ком звонит колокол»;
• «Три товарища»;
• «В круге первом»;
• «Смерть Ивана Ильича».

Иными словами, Русскую Культуру предлагают отменить как таковую. Школьников стараются «защитить» от влияния «излишних», по мнению «Стандартов», центров культуры; таковыми здесь оказалисьнежелательные, по мнению составителей «Стандартов», для упоминани учителями в школе:

• Эрмитаж;
• Русский музей;
• Третьяковская галерея;
• Пушкинский музей Изобразительных искусств в Москве.

Колокол звонит по нам!

Трудно всё же удержаться и совсем не упомянуть, что именно предлагается сделать «необязательным для обучения» в точных науках (во всяком случае, «Стандарты» рекомендуют «не требовать от школьников усвоения этих разделов»):

• строение атомов;
• понятие дальнодействия;
• устройство глаза человека;
• соотношение неопределённостей квантовой механики;
• фундаментальные взаимодействия;
• звёздное небо;
• Солнце как одна из звёзд;
• клеточное строение организмов;
• рефлексы;
• генетика;
• происхождение жизни на Земле;
• эволюция живого мира;
• теории Коперника, Галилея и Джордано Бруно;
• теории Менделеева, Ломоносова, Бутлерова;
• заслуги Пастера и Коха;
• натрий, кальций, углерод и азот (их роль в обмене веществ);
• нефть;
• полимеры.

Из математики такой же дискриминации подверглись в «Стандартах» и темы, без которых не сможет обойтись ни один учитель (и без полного понимания которых школьники будут полностью беспомощными и в физике, и в технике, и в огромном числе других приложений наук, в том числе и военных, и гуманитарных):

• необходимость и достаточность;
• геометрическое место точек;
• синусы углов в 30^o, 45^o, 60^o;
• построение биссектрисы угла;
• деление отрезка на равные части;
• измерение величины угла;
• понятие длины отрезка;
• сумма членов арифметической прогрессии;
• площадь сектора;
• обратные тригонометрические функции;
• простейшие тригонометрические неравенства;
• равенства многочленов и их корни;
• геометрия комплексных чисел (необходимая и для физики переменного тока, и для радиотехники, и для квантовой механики);
• задачи на построение;
• плоские углы трёхгранного угла;
• производная сложной функции;
• превращение простых дробей в десятичные.

Надежду вселяет лишь то, что существующие пока тысячи прекрасно подготовленных учителей будут продолжать выполнять свой долг и обучать всему этому новые поколени школьников, несмотря на любые приказы Министерства. Здравый смысл сильнее бюрократической дисциплины. Надо только не забывать нашим замечательным учителям достойно платить за их подвиг.

Представители Думы объяснили мне, что положение можно было бы, сильно улучшить, если бы озаботиться об исполнении принятых уже законов об образовании.

Следующее описание состояни дел было изложено депутатом И. И. Мельниковым в его докладе в Математическом Институте им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук в Москве осенью 2002 года.

Например, один из законов предусматривает ежегодное увеличение бюджетного вклада в обучение примерно на 20% в год. Но министр сообщил, что «заботиться об исполнении этого закона не стоит, так как практически ежегодное увеличение происходит больше, чем на 40%». Вскоре после этой речи министра было объявлено практически реализуемое на ближайший (это был 2002) год увеличение (на гораздо меньший процент). А если ещё учесть инфляцию, то, оказывается, принято было решение об уменьшении реального годового вклада в образование.

Другой закон указывает процент расходов бюджета, который должен тратиться на образование. Реально тратится гораздо меньшее (во сколько именно раз, узнать точно я не сумел). Зато расходы на «оборону от внутреннего врага» повысились от трети до половины расходов на оборону от врага внешнего.

Естественно перестать учить детей дробям, а то ведь, не дай Бог, поймут!

По-видимому, именно в предвидении реакции учителей составители «Стандарта» снабдили ряд имён писателей в своём списке рекомендованного чтения (вроде имён Пушкина, Крылова, Лермонтова, Чехова и тому подобных) знаком «звёздочка», расшифровываемым ими как: «По своему желанию учитель может познакомить учеников ещё с одним или двумя произведениями того же автора» (а не только с «Памятником», рекомендованным ими в случае Пушкина).

Более высокий по сравнению с заграничным уровень нашего традиционного математического образования стал для меня очевиден только после того, как я смог сравнить этот уровень с зарубежным, проработав немало семестров в университетах и колледжах Парижа и Нью-Йорка, Оксфорда и Кембриджа, Пизы и Болоньи, Бонна и Беркли, Стэнфорда и Бостона, Гонконга и Киото, Мадрида и Торонто, Марселя и Страсбурга, Утрехта и Рио-де-Жанейро, Конакри и Стокгольма.

«Мы никак не можем следовать твоему принципу — выбирать кандидатов по их научным достижениям», — сказали мне коллеги в комиссии по приглашению новых профессоров в один из лучших университетов Парижа. — «Ведь в этом случае нам пришлось бы выбирать одних только русских — настолько их научное превосходство нам всем ясно!» (я же говорил при этом об отборе среди французов).

Рискуя быть понятым одними только математиками, я приведу всё же примеры ответов лучших кандидатов на профессорскую должность математика в университете в Париже весной 2002 года (на каждое место претендовало 200 человек).

Кандидат преподавал линейную алгебру в разных университетах уже несколько лет, защитил диссертацию и опубликовал с десяток статей в лучших математических журналах Франции.

Отбор включает собеседование, где кандидату предлагаются всегда элементарные, но важные вопросы (уровня вопроса «Назовите столицу Швеции», если бы предметом была география).

Итак, я спросил: «Какова сигнатура квадратичной формы xy?»

Кандидат потребовал положенные ему на раздумье 15 минут, после чего сказал: «В моём компьютере в Тулузе у меня есть рутина (программа), которая за час-другой могла бы узнать, сколько будет плюсов и сколько минусов в нормальной форме. Разность этих двух чисел и будет сигнатурой — но ведь вы даёте только 15 минут, да без компьютера, так что ответить я не могу, эта форма ху уж слишком сложна».

Для неспециалистов поясню, что, если бы речь шла о зоологии, то этот ответ был бы аналогичен такому: «Линней перечислил всех животных, но является ли берёза млекопитающей или нет, без книги ответить не могу».

Следующий кандидат оказался специалистом по «системам эллиптических уравнений в частных производных» (полтора десятка лет после защиты диссертации и более двадцати опубликованных работ).

Этого я спросил: «Чему равен лапласиан от функции 1/r в трёхмерном евклидовом пространстве?»

Ответ (через обычные 15 минут) был для меня поразительным; «Если бы r стояло в числителе, а не в знаменателе, и производна требовалась бы первая, а не вторая, то я бы за полчаса сумел посчитать её, а так — вопрос слишком труден».

Поясню, что вопрос был из теории эллиптических уравнений типа вопроса «Кто автор «Гамлета»?» на экзамене по английской литературе. Пытаясь помочь, я задал ряд наводящих вопросов (аналогичных вопросам об Отелло и об Офелии): «Знаете ли Вы, в чём состоит закон Всемирного тяготения? Закон Кулона? Как они связаны с лапласианом? Какое у уравнения Лапласа фундаментальное решение?»

Но ничего не помогало: ни Макбет, ни Король Лир не были известны кандидату, если бы шла речь о литературе.

Наконец, председатель экзаменационной комиссии объяснил мне, в чём дело: «Ведь кандидат занимался не одним эллиптическим уравнением, а их системами, а ты спрашиваешь его об уравнении Лапласа, которое всего одно — ясно, что он никогда с ним не сталкивался!»

В литературной аналогии это «оправдание» соответствовало бы фразе: «Кандидат изучал английских поэтов, откуда же ему знать Шекспира, ведь он — драматург!»

Третий кандидат (а опрашивались десятки их) занимался «голоморфными дифференциальными формами», и его я спросил: «Какова риманова поверхность тангенса?» (об арктангенсе спрашивать я побоялся).

Ответ: «Римановой метрикой называется квадратичная форма от дифференциалов координат, но какая форма связана с функцией «тангенс», мне совершенно не ясно».

Поясню опять образцом аналогичного ответа, заменив на этот раз математику историей (к которой более склонны митрофаны). Здесь вопрос был бы: «Кто такой Юлий Цезарь?», а ответ: «Цезарями называли властителей Византии, но Юлия я среди них не знаю».

Наконец, появился вероятностник-кандидат, интересно рассказывавший о своей диссертации. Он доказал в ней, что утверждение «справедливы вместе А и B» неверно (сами утверждения А и В формулируются длинно, так что здесь я их не воспроизвожу).

Вопрос: «А всё же, как обстоит дело с утверждением A самим по себе, без В: верно оно или нет?»

Ответ: «Ведь я же сказал, что утверждение «A и В» неверно. Это означает, что A тоже неверно». То есть: «Раз неверно, что «Петя с Мишей заболели холерой», то Петя холерой не заболел».

Здесь моё недоумение опять рассеял председатель комиссии: он объяснил, что кандидат — не вероятностник, как я думал, а статистик (в биографии, называемой CV, стоит не «proba», a «stat»).

«У вероятностников, — объяснил мне наш опытный председатель, — логика нормальная, такая же, как у математиков, аристотелевская. У статистиков же она совершенно другая: недаром же говорят «есть ложь, наглая ложь и статистика». Все их рассуждения бездоказательны, все их заключения ошибочны. Но зато они всегда очень нужны и полезны, эти заключения. Этого статистика нам обязательно надо принять!»

Специалиста по голоморфным формам тоже одобрили. Довод был ещё проще: «Курс голоморфных функций нам читал (в элитарной Высшей Нормальной Школе) знаменитый профессор Анри Картан, и там римановых поверхностей не было!» — сказал мне председатель. И добавил: «Если я и выучился римановым поверхностям, то только двадцать лет спустя, когда они мне понадобились для работы (в финансовой математике). Так что незнакомство с ними — отнюдь не недостаток кандидата!»

В Московском Университете такой невежда не смог бы окончить третий курс механико-математического факультета. Римановы поверхности считал вершиной математики ещё основатель Московского Математического общества Н. Бугаев (отец Андрея Белого). Он, правда, считал, что в современной ему математике конца XIX века начали появляться не укладывающиеся в русло этой старой теории объекты — неголоморфные функции действительных переменных, являющиеся, по его мнению, математическим воплощением идеи свободной воли в той же мере, в какой римановы поверхности и голоморфные функции воплощают идею фатализма и предопределённости.

В результате этих размышлений Бугаев послал молодых москвичей в Париж, чтобы они выучились там новой «математике свободной воли» (у Бореля и Лебега). Эту программу блестяще выполнил Н. Н. Лузин, создавший по возвращении в Москву блестящую школу, включающую всех основных московских математиков многих десятилетий: Колмогорова и Петровского, Александрова и Понтрягина, Меньшова и Келдыш, Новикова и Лаврентьева, Гельфанда и Люстерника.

Между прочим, Колмогоров рекомендовал мне впоследствии выбранную себе Лузиным в Латинском квартале Парижа гостиницу «Паризиана» (на улице Турнефор, недалеко от Пантеона). Во время Первого Европейского Математического Конгресса в Париже (1992) остановился в этой недорогой гостинице (с удобствами на уровне XIX века, без телефона и так далее). И престарелая хозяйка этой гостиницы, узнав, что я приехал из Москвы, сейчас же спросила меня: «А как там поживает мой старый постоялец, Лузин? Жалко, что он давно не навещал нас».

Через пару лет гостиницу закрыли на ремонт (хозяйка, вероятно, умерла) и стали перестраивать на американский лад, так что теперь этот островок XIX века в Париже уже не увидишь.

Возвращаясь к выбору профессоров 2002 года, замечу, что все перечисленные выше невежды получили (у всех, кроме меня) самые хорошие оценки. Напротив того, был почти единодушно отвергнут единственный, на мой взгляд, достойный кандидат. Он открыл (при помощи «базисов Грёбнера» и компьютерной алгебры) несколько десятков новых вполне интегрируемых систем гамильтоновых уравнений математической физики (получив заодно, но не включив в список новых, и знаменитые уравнения Кортевега-де Фриза, Сайн-Гордон и тому подобное).

В качестве своего проекта на будущее кандидат предложил также новый компьютерный метод моделирования лечения диабета. На мой вопрос об оценке его метода врачами он ответил совершенно разумно: «Метод сейчас проходит апробацию в таких-то центрах и больницах, и через полгода они дадут свои заключения, сравнив результаты с другими методами и с контрольными группами больных, а пока эта экспертиза не проведена, и есть только лишь предварительные оценки, правда, Хорошие».

Отвергли его с таким объяснением: «На каждой странице его диссертации упомянуты либо группы Ли, либо алгебры Ли, а у нас этого никто не понимает, так что он к нашему коллективу совершенно не подойдёт». Правда, так можно было бы отвергнуть и меня, и всех моих учеников, но некоторые коллеги думают, что причина отклонения была иной: в отличие от всех предыдущих кандидатов, этот не был французом (он был учеником известного американского профессора из Миннесоты).

Вся описанная картина наводит на грустные мысли о будущем французской науки, в частности математики. Хотя «Национальный Комитет Франции по Науке» склонялся к тому, чтобы новые научные исследования вовсе не финансировать, а потратить (предоставляемые Парламентом для развития науки) деньги на закупку готовых американских рецептов, я резко выступил против этой самоубийственной политики и добился всё же хотя бы некоторого субсидирования новых исследований. Трудность вызвал, однако, делёж денег. Недостойными субсидирования были последовательно признаны голосованием (в течение пятичасового заседания) медицина, атомная энергетика, химия полимеров, вирусология, генетика, экология, охрана окружающей среды, захоронение радиоактивных отходов и многое другое. В конце концов всё же выбрали три «науки», якобы заслуживающие финансировани своих новых исследований. Вот эти три «науки»: 1) СПИД; 2) психоанализ; 3) сложная отрасль фармацевтической химии, научное название которой я воспроизвести не в силах, но которая занимается разработкой психотропных препаратов, подобных лакримогенному газу, превращающих восставшую толпу в послушное стадо.

Так что теперь Франция спасена!

Из всех учеников Лузина наиболее замечательный вклад в науку внёс, по моему мнению, Андрей Николаевич Колмогоров. Выросший в деревне у деда под Ярославлем, Андрей Николаевич с гордостью относил к себе слова Гоголя «расторопный рославский мужик».

Стать математиком он вовсе не собирался, даже уже поступив в Московский Университет, где он сразу же стал заниматься историей (в семинаре профессора Бахрушина) и, не достигнув и двадцати лет, написал свою первую научную работу.

Эта работа была посвящена исследованию земельных экономических отношений в средневековом Новгороде. Здесь сохранились налоговые документы, и анализ огромного количества этих документов статистическими методами привёл молодого историка к неожиданным заключениям, о которых он и рассказал на заседании Бахрушина.

Доклад был очень удачным, и докладчика много хвалили. Но он настаивал на другом одобрении: ему хотелось, чтобы его выводы были признаны правильными.

В конце концов Бахрушин сказал ему: «Этот доклад обязательно нужно опубликовать; он очень интересен. Но что касается выводов, то у нас, историков, для признания какого-либо вывода всегда нужно не одно доказательство, а по меньшей мере пять!«

На следующий день Колмогоров сменил историю на математику, где одного доказательства хватает. Доклад же он не опубликовал, и этот текст так и лежал в его архиве, пока, после смерти Андрея Николаевича, он не был показан современным историкам, которые признали его не только очень новым и интересным, но и вполне доказательным. Теперь этот доклад Колмогорова опубликован, и рассматривается сообществом историков как выдающийся вклад в их науку.

Сделавшись профессиональным математиком, Колмогоров остался, в отличие от большинства из них, прежде всего естествоиспытателем и мыслителем, а вовсе не умножателем многозначных чисел (что главным образом представляется при анализе деятельности математиков незнакомым с математикой людям, включая даже Л.Д.Ландау, ценившего в математике именно продолжение счётного мастерства: пятью пять — двадцать пять, шестью шесть — тридцать шесть, семью семь — сорок семь, как я прочитал в пародии на Ландау, составленной его физтеховскими учениками; впрочем, в письмах Ландау ко мне, бывшему тогда студентом, математика не логичнее, чем в этой пародии).

Маяковский писал: «Ведь зато он может ежесекундно извлекать квадратный корень» (о профессоре, которому «не нудно, что под окном приготовишки деятельно ходят в гимназию»).

Но он же прекрасно описал, что такое математическое открытие, сказав, что » Тот, кто открыл, что дважды два — четыре, был великим математиком, даже если он открыл это, считая окурки. А тот, кто сегодня считает по той же формуле гораздо большие предметы, например локомотивы, совсем не математик!»

Колмогорова, в отличие от многих других, прикладная, «локомотивная» математика никогда не отпугивала, и он радостно применял математические соображения к самым разным областям человеческой деятельности: от гидродинамики до артиллерии, от небесной механики до стихосложения, от миниатюризации компьютеров до теории броуновского движения, от расходимости рядов Фурье до теории передачи информации и до интуиционистской логики. Он смеялся тому, что французы пишут «Небесная механика» с заглавной буквы, а «прикладная» — с малой.

Когда я впервые приехал в Париж в 1965 году, меня горячо приветствовал престарелый профессор Фреше, со следующими словами: «Ведь Вы — ученик Колмогорова, того молодого человека, который построил пример почти всюду расходящегося ряда Фуръе!»

Упомянутая здесь работа Колмогорова была им выполнена в девятнадцатилетнем возрасте, решила классическую задачу и сразу же выдвинула этого студента в ранг первоклассных математиков мирового значения. Сорок лет спустя это достижение всё ещё оставалось для Фреше более значительным, чем все последующие и гораздо более важные фундаментальные работы Колмогорова, перевернувшие во всем мире и теорию вероятностей, и теорию функций, и гидродинамику, и небесную механику, и теорию аппроксимаций, и теорию алгоритмической сложности, и теорию когомологий в топологии, и теорию управления динамическими системами (где неравенства Колмогорова между производными разных порядков и сегодня остаются одним из высших достижений, хот специалисты по теории управления редко это понимают).

Но сам Колмогоров всегда несколько скептически относился к своей любимой математике, воспринимая её как маленькую часть естествознания и легко отказываясь от тех логических ограничений, которые накладывают на правоверных математиков путы аксиоматически-дедуктивного метода.

«Было бы напрасно, — говорил он мне, — искать в моих работах о турбулентности математическое содержание. Я выступаю здесь как физик и совершенно не забочусь о математических доказательствах или выводах своих заключений из исходных предпосылок, вроде уравнений Навье-Стокса. Пусть эти заключения не доказаны — зато они верны и открыты, а это куда важнее, чем доказать их!»

Многие открытия Колмогорова не только не доказаны (ни им самим, ни его последователями), но даже не опубликованы. Но тем не менее, они уже оказали и продолжают оказывать решающее влияние на целый ряд отделов науки (причём далеко не только математической).

Приведу лишь один знаменитый пример (из теории турбулентности).

Математической моделью гидродинамики является динамическая система в пространстве полей скоростей жидкости, описывающая эволюцию начального поля скоростей частиц жидкости под влиянием их взаимодействия: давления и вязкости (а также под возможным влиянием внешних сил, например, силы веса в случае реки или напора воды в водопроводе).

Под действием этой эволюции динамическая система может придти к равновесному (стационарному) состоянию, когда скорость потока в каждой точке области течения не меняется со временем (хотя всё течёт, и каждая частица движется и меняет со временем свою скорость).

Такие стационарные течения (например, ламинарные течения в терминах классической гидродинамики) являются притягивающими точками динамической системы. Их называют поэтому (точечными) аттракторами (притягивателями).

Возможны и другие притягивающие соседей множества, например — замкнутые кривые, изображающие в функциональном пространстве полей скоростей периодически меняющиеся со временем течения. Аттрактором такая кривая является тогда, когда соседние начальные условия, изображаемые близкими к указанной замкнутой кривой «возмущёнными» точками функционального пространства полей скоростей, начинают хотя и не периодически меняющееся со временем течение, но приближаются к таковому (а именно, возмущённое течение стремится к описанному ранее периодическому с течением времени).

Пуанкаре, впервые открывший это вление, назвал такие замкнутые кривые-аттракторы «устойчивыми предельными циклами«. С физической точки зрения их можно назвать периодическими установившимися режимами течения: возмущение постепенно затухает при переходном процессе, вызванном возмущением начального условия, и через некоторое время отличие движения от невозмущённого периодического становится малозаметным.

После Пуанкаре подобные предельные циклы много исследовал А. А. Андронов, основавший на этой математической модели исследование и расчёт генераторов радиоволн, то есть радиопередатчиков.

Поучительно, что открытая Пуанкаре и разработанная Андроновым теория рождения предельных циклов из теряющих устойчивость положений равновесия называется сегодня обычно (даже в России) бифуркацией Хопфа. Э.Хопф опубликовал часть этой теории через пару десятков лет после публикации Андронова и более, чем через полвека после Пуанкаре, но он в отличие от них жил в Америке, так что сработал известный эпонимический принцип: если какой-либо объект носит чьё-либо имя, то это не имя первооткрывателя (например, Америка носит имя не Колумба).

Английский физик М. Берри назвал этот эпонимический принцип «принципом Арнольда», дополнив его ещё вторым. Принцип Берри: Принцип Арнольда применим к самому себе (то есть был известен и раньше).

В этом я с Берри совершенно согласен. Сообщил же я ему эпонимический принцип в ответ на препринт о «фазе Берри», примеры которой, ничуть не уступающие общей теории, за десятки лет до Берри были опубликованы С. М. Рытовым (под названием «инерции направления поляризации») и А.Ю.Ишлинским (под названием «ухода гироскопа подводной лодки вследствие несовпадения пути возвращения на базу с путём ухода от неё»),

Вернёмся, однако, к аттракторам. Аттрактор, или притягивающее множество, — это установившийся режим движения, которое, однако, не обязано быть периодическим. Математики исследовали и куда более сложные движения, которые также могут притягивать возмущённые соседние движения, но которые сами могут быть крайне неустойчивыми: малые причины, вызывают порой большие следствия,говорил Пуанкаре. Состояние, или «фаза», такого предельного режима (то есть точка на поверхности аттрактора) может двигаться вдоль поверхности аттрактора причудливым «хаотическим» образом, и небольшое отклонение начальной точки на аттракторе может сильно изменить ход движения, вовсе не меняя предельного режима. Средние за большие времена от всевозможных наблюдаемых величин будут близкими в исходном и в возмущённом движении, но детали в фиксированный момент времени будут, как правило, совершенно разными.

В метеорологических терминах «предельный режим» (аттрактор) можно уподобить климату, а фазу — погоде. Небольшое изменение начальных условий может сильно повлиять на завтрашнюю погоду (а ещё сильнее — на погоды через неделю и через месяц). Но от такого изменения тундра ещё не станет тропическим лесом: просто гроза вместо вторника может разразиться в пятницу, что средних за год (и даже за месяц) может и не изменить.

В гидродинамике степень затухания начальных возмущений характеризуют обычно вязкостью (так сказать, взаимным трением частиц жидкости при их движении одной относительно другой), или же обратной вязкости величиной, называемой «числом Рейнолъдса». Большие значения числа Рейнольдса соответствуют слабому затуханию возмущений, а большие значения вязкости (то есть малые числа Рейнольдса) — напротив, регуляризуют течение, препятствуя возмущениям и их развитию. В экономике роль «вязкости» часто играют взятки и коррупция¹.

¹ Многоступенчатое управление производством неустойчиво, если число ступеней (рабочий, мастер, начальник цеха, директор завода, главк и т.д.) больше двух, но может реализовываться устойчивым образом, если хотя бы некоторые из руководителей поощряются не только сверху (за выполнение приказов), но и снизу (ради пользы дела, за способствующие производству решения). Для последнего поощрения и употребляется коррупция. Подробности см. в статье: В. И. Арнольд. Математика и математическое образование в современном мире. В кн.: Математика в образовании и воспитании. — М.: ФАЗИС, 2000, с. 195-205.

Вследствие большой вязкости, при малых числах Рейнольдса обычно устанавливается устойчивое стационарное (ламинарное) течение, изображаемое в пространстве полей скоростей точечным аттрактором.

Основной вопрос состоит в том, как будет меняться характер течения при повышении числа Рейнольдса. В водопроводе это соответствует, например, увеличению напора воды, делающему неустойчивой гладкую (ламинарную) струйку из-под крана, но математически для увеличения числа Рейнольдса удобнее уменьшать выражающий вязкость коэффициент трения частиц (что в эксперименте потребовало бы технически сложной замены жидкости). Впрочем, иногда для изменения числа Рейнольдса достаточно менять температуру в лаборатории. Я видел в Новосибирске такую установку в Институте точных измерений, где число Рейнольдса менялось (в четвёртом знаке), когда приближал свою руку к цилиндру, где происходило течение (именно вследствие изменения температуры), причём на экране компьютера, обрабатывающего опыт, это изменение числа Рейнольдса немедленно указывалось электронной автоматикой.

Думая об этих явлениях перехода от ламинарного (устойчивого стационарного) течения к бурному турбулентному, Колмогоров давно уже высказал целый ряд гипотез (которые и сегодня остаются недоказанными). Я думаю, что эти гипотезы относятся ко времени (1943) его спора с Ландау о природе турбулентности. Во всяком случае, он явно их формулировал на своём семинаре (по гидродинамике и теории динамических систем) в Московском Университете в 1959 году, где они были даже частью вывешенного им тогда объявления о семинаре. Но никакой формальной публикации этих гипотез Колмогоровым я не знаю, и на Западе их обычно приписывают своим эпигонам Колмогорова, узнавшим о них и опубликовавшим их десятками лет позже.

Сущность этих гипотез Колмогорова состоит в том, что по мере увеличения числа Рейнольдса аттрактор, соответствующий установившемуся режиму течения, становится всё более сложным, а именно — что увеличивается его размерность.

Сначала это точка (нульмерный аттрактор), потом окружность (предельный цикл Пуанкаре, одномерный аттрактор). И гипотеза Колмогорова об аттракторах в гидродинамике состоит из двух утверждений: при росте числа Рейнольдса 1) появляются аттракторы всё больших размерностей; 2) исчезают все маломерные аттракторы.

Из 1 и 2 вместе вытекает, что когда число Рейнолъдса достаточно велико, установившийся режим непременно имеет много степеней свободы, так что для описания его фазы (точки на аттракторе) нужно задавать много параметров, которые затем, при движении вдоль аттрактора, будут прихотливым и непериодическим «хаотическим» образом меняться, причём малое изменение начальной точки на аттракторе приводит, как правило, к большому (через большое время) изменению «погоды» (текущей точки на аттракторе), хотя и не изменяет сам аттрактор (то есть не вызовет изменени «климата»).

Само по себе утверждение 1 здесь недостаточно, так как могут сосуществовать разные аттракторы, в том числе и аттракторы разных размерностей в одной системе (которая, таким образом, сможет совершать спокойное «ламинарное» движение при одних начальных условиях и бурное «турбулентное» при других, в зависимости от своего начального состояния).

Экспериментальное наблюдение таких эффектов «затягивания потери устойчивости» долго удивляло физиков, но Колмогоров добавил, что даже в случае неисчезновения маломерного аттрактора он может не менять наблюдаемой турбулентности в том случае, когда размер зоны его притяжения сильно падает с ростом числа Рейнольдса. В этом случае ламинарный режим, хотя и возможен в принципе (и даже устойчив), практически не наблюдается из-за крайней малости области своего притяжения: уже небольшие, но всегда имеющиеся в эксперименте возмущения, могут выводить систему из зоны притяжения этого аттрактора в зону притяжения другого, уже турбулентного, установившегося режима, который и будет наблюдаться.

Это обсуждение может объяснить и такое странное наблюдение: некоторые знаменитые гидродинамические эксперименты XIX века не удавалось повторить во второй половине XX века, хотя при этом пытались использовать ту же аппаратуру в той же лаборатории. Оказалось, однако, что старый эксперимент (с его затягиванием потери устойчивости) удается повторить, если делать его не в старой лаборатории, а в глубокой подземной шахте.

Дело в том, что современное уличное движение сильно повысило величину «незаметных» возмущений, которые и стали сказываться (вследствие малости зоны притяжения сохраняющегося «ламинарного» аттрактора).

Многочисленные попытки многих математиков подтвердить гипотезы Колмогорова 1 и 2 (или хотя бы первую) доказательствами привели пока только к оценкам размерностей аттракторов через числа Рейнолъдса сверху: эта размерность не может стать слишком большой, пока вязкость этому препятствует.

Размерность оценивается в этих работах степенной функцией от числа Рейнольдса (то есть отрицательной степенью вязкости), причём показатель степени зависит от размерности пространства, где происходит течение (в трёхмерном течении турбулентность сильнее, чем в плоских задачах).

Что же касается наиболее интересной части задачи, то есть оценки размерности снизу (хотя бы для некоторых аттракторов, как в гипотезе 1, или даже для всех, как в гипотезе 2, по поводу которой Колмогоров выражал больше сомнений), то здесь математики оказались не на высоте, так как, по своей привычке, подменили реальную естественнонаучную задачу своей формально-аксиоматической абстрактной формулировкой с её точными, но предательскими определениями.

Дело в том, что аксиоматическое понятие аттрактора было сформулировано математиками с потерей некоторых свойств физического предельного режима движения, каковое (не определённое строго) понятие математики и пытались аксиоматизировать, вводя термин «аттрактор».

Рассмотрим, например, аттрактор, вляющийся окружностью (к которой спирально приближаются все близкие траектории динамики).

На самой же этой притягивающей соседей окружности динамика пусть устроена так: две противоположные точки (на концах одного диаметра) неподвижны, но одна из них — аттрактор (притягивает соседей), а другая — репульсор (отталкивает их).

Например, можно представить себе вертикально стоящую окружность, динамика на которой сдвигает вдоль окружности вниз любую точку, кроме остающихся неподвижными полюсов:

аттрактора внизу и репульсора наверху.

В этом случае, несмотря на существование в системе одномерного аттрактора-окружности, физически установившимся режимом будет только устойчивое стационарное положение (нижний аттрактор в приведённой выше «вертикальной» модели).

При произвольном малом возмущении движение будет сначала эволюционировать к аттрактору-окружности. Но потом будет играть роль уже внутренняя динамика на этом аттракторе, и состояние системы, будет в конце концов приближаться к «ламинарному» нульмерному аттрактору, одномерный же аттрактор, хотя и существует математически, на роль «установившегося режима» не годится.

Один из способов избежать подобных неприятностей — считать аттракторами только одни лишь минимальные аттракторы, то есть аттракторы, не содержащие меньших аттракторов. Гипотезы Колмогорова относятся именно к таким аттракторам, если мы хотим дать им точную формулировку.

Но тогда об оценках размерностей снизу ничего не доказано, несмотря на многочисленные названные так публикации.

Опасность дедуктивно-аксиоматического подхода к математике сно понимали многие мыслители и до Колмогорова. Первый по времени американский математик Дж. Сильвестр писал, что математическим идеям ни в коем случае нельзя окаменевать, так как они теряют силу и применения при попытке аксиоматизировать нужные свойства. Он говорил, что идеи должны восприниматься как вода в реке: мы никогда не входим в точности в ту же самую воду, хотя брод тот же самый. Так и идея может породить много разных и неэквивалентных друг другу аксиоматик, каждая из которых отражает идею не целиком.

Ко всем этим выводам Сильвестр пришёл, продумывая, по его словам, «странный интеллектуальный феномен, заключающийся в том, что доказательство более общего утверждения часто оказывается более простым, чем доказательства содержащихся в нем частных случаев». В качестве примера он сравнивал геометрию векторного пространства с (ещё не сложившимся тогда) функциональным анализом.

Эта идея Сильвестра в дальнейшем много использовалась. Например, именно ею объясняется стремление Бурбаки делать все понятия возможно более общими. Они даже употребляют во Франции слово «больше» в смысле, который в других странах (презрительно именуемыми ими «англосаксонскими») выражают словами «больше или равно», так как во Франции сочли более общее понятие «>=» первичным, а более частное «>» — «маловажным» примером. Из-за этого они учат студентов, будто нуль — число положительное (а также отрицательное, неположительное, неотрицательное и натуральное), что в других местах не признаётся.

Но до вывода Сильвестра о недопустимости окаменевания теорий они, видимо, не добрались (по крайней мере, в Париже, в библиотеке Высшей Нормальной Школы (Ecole Normale Superieure) эти страницы его Собрания Сочинений были неразрезанными, когда я недавно до них добрался).

Убедить математических «специалистов» правильно толковать гипотезы о росте размерностей аттракторов мне не удаётся, так как они, подобно юристам, возражают мне формальными ссылками на имеющиеся догматические своды законов, содержащие «точное формальное определение» аттракторов невежд.

Колмогоров, напротив, никогда не заботился о букве чьего-то определения, а думал о сущности дела².

² Решив в 1960 г. проблему Биркгофа об устойчивости неподвижных точек нерезонансных систем, я опубликовал в 1961 г. решение именно этой проблемы. Годом позже Ю. Мозер обобщил мой результат, доказав устойчивость и при резонансах порядка, большего четырёх. Только тут я заметил, что моё доказательство устанавливало этот более общий факт, но, будучи загипнотизированным формулировкой определения нерезоиансности Биркгофа, я не написал, что доказал больше, чем требовал Биркгоф.

Однажды он объяснил мне, что придумал свою топологическую теорию когомологий вовсе не комбинаторно и не алгебраически, как она выглядит, но думая то о потоках жидкости в гидродинамике, то о магнитных полях: он хотел промоделировать эту физику в комбинаторной ситуации абстрактного комплекса и сделал это.

И он добавил: «Жаль, что эти мои четыре статьи о когомологиях в парижских Comptes Rendus так и не поняты топологами даже сейчас, тридцать лет спустя (1965). Ведь я построил там не только группы когомологий — их-то все теперь поняли — а ещё и кольцо. И, если бы это моё кольцо поняли, то, я уверен, можно было бы получить в топологии много нового, вовсе не предполагая, как в теории кольца пересечений Пуанкаре, пространство многообразием».

В те годы я наивно пытался объяснить Колмогорову, что произошло в топологии за те десятки лет, которые он черпал все свои знания о ней только от П. С. Александрова. Из-за этой изоляции Колмогоров ничего не знал о гомотопической топологии; он убеждал меня, будто «спектральные последовательности содержались в казанской работе Павла Сергеевича 1942 года», и попытки объяснить ему, что такое точная последовательность, были не удачнее моих наивных попыток поставить его на водные лыжи или посадить на велосипед, этого великого путешественника и горнолыжника.

Удивительной для меня оказалась, однако, высокая оценка слов Колмогорова о когомологиях, данная строгим экспертом, Владимиром Абрамовичем Рохлиным. Он мне объяснил, совершенно не критически, что в этих словах Колмогорова содержится, во-первых, глубоко правильная оценка взаимоотношения двух своих достижений (особенно трудная в случае, когда, как здесь, оба достижения замечательны), а во-вторых — прозорливое предвидение огромного значения когомологических операций.

Из всех достижений современной топологии Колмогоров выше всего ценил сферы Милнора, о которых последний рассказал в 1961 году на Всесоюзном Математическом съезде в Ленинграде. Колмогоров даже уговорил меня (тогда начинающего аспиранта) включить эти сферы в свой аспирантский план, что заставило меня начать учиться дифференциальной топологии у Рохлина, Фукса и Новикова (вследствие чего я был даже вскоре оппонентом кандидатской диссертации последнего о дифференцируемых структурах на произведениях сфер).

Замысел Колмогорова состоял в том, чтобы употребить сферы Милнора для доказательства непредставимости функции многих переменных суперпозициями в 13-й проблеме Гильберта (вероятно, для алгебраических функций), но ни каких-либо его публикаций на эту тему, ни формулировок его гипотез не знаю.

Ещё один малоизвестный круг идей Колмогорова относится к оптимальному управлению динамическими системами.

Простейшая задача этого круга состоит в том, чтобы максимизировать в какой-либо точке первую производную определённой на отрезке или на окружности функции, зная оценки сверху модулей самой функции и её второй производной. Вторая производная мешает быстро загасить первую, и при слишком большой первой функция перерастает заданное ограничение.

Вероятно, первым опубликовал решение этой задачи о второй производной Адамар, а впоследствии его заново нашёл, занимаясь артиллерийскими траекториями, Литтлвуд. Колмогоров, кажется, не знал публикаций ни того, ни другого, и решил задачу об оценке сверху любой промежуточной производной через максимальные значения модулей дифференцируемой функции и её производной высокого {фиксированного} порядка.

Замечательная идея Колмогорова состояла в том, чтобы явно указать экстремальные функции, вроде многочленов Чебышёва (на которых доказываемое неравенство становится равенством). А для того, чтобы функция была экстремальной, он, естественно, догадался, что величину старшей производной нужно всё время выбирать максимальной по модулю, меняя только её знак.

Это привело его к замечательной серии специальных функций. Нулевая функция этой серии — это сигнум синуса аргумента (всюду имеющий максимальный модуль). Следующая, первая, функция — это первообразная от нулевой (то есть уже непрерывная «пила», производная которой всюду имеет максимальный модуль). Дальнейшие функции получаются каждая из предыдущей таким же интегрированием (увеличивающим число производных на единицу). Нужно только выбирать постоянную интегрирования так, чтобы интеграл от получившейся первообразной функции по периоду равнялся каждый раз нулю (тогда все построенные функции будут периодическими).

Явные формулы для получающихся кусочно-полиномиальных функций довольно сложны (интегрирования вносят рациональные константы, связанные даже с числами Бернулли).

Значения построенных функций и их производных доставляют постоянные в степенных оценках Колмогорова (оценивающих модуль промежуточной производной сверху через произведение рациональных степеней максимумов модуля функции и старшей производной). Указанные рациональные показатели степени легко угадать из того соображения подобия, восходящего к законам подобия Леонардо да Винчи и к теории турбулентности Колмогорова, что комбинация должна получиться безразмерной, так как понятно (хот бы из обозначений Лейбница), как ведут себя производные разных порядков при изменениях единиц измерения аргумента и функции. Например, для задачи Адамара оба рациональные показатели степени равны половине, так что квадрат первой производной оценивается сверху произведением максимумов модуля самой функции и её второй производной (с коэффициентом, зависящим от длины того отрезка или той окружности, где рассматривается функция).

Доказать все эти оценки легче, чем придумать экстремальные функции, описанные выше (и доставляющие, среди прочего, теорему Гаусса: вероятность несократимости дроби p/q с целыми числителем и знаменателем равна 6/p², то есть около 2/3).

В терминах сегодняшней теории управления, избранная Колмогоровым стратегия называется «биг банг»: управляющий параметр всё время нужно выбирать имеющим экстремальное значение, всякая умеренность только вредит.

Что касается дифференциального уравнения Гамильтона для изменения со временем выбора этого экстремального значения из многих возможных, то Колмогоров прекрасно его знал, называя его, впрочем, принципом Гюйгенса (который этому уравнению действительно эквивалентен и из которого Гамильтон и получил своё уравнение переходом от огибающих к дифференциалам). Колмогоров даже указывал мне, бывшему тогда студентом, что лучшее описание этой геометрии принципа Гюйгенса содержится в учебнике механики Уиттекера, где я ему и научился, а что в более запутанной алгебраической форме он есть в теории «берюрунгтрансформационнен» Софуса Ли (вместо которой я выучил теорию канонических преобразований по «Динамическим системам» Биркгофа и которая сегодня называется контактной геометрией).

Разыскивать истоки современной математики в классических сочинениях обычно нелегко, особенно вследствие изменившейся терминологии, принимаемой за новую науку. Например, практически никто не замечает, что так называемая теория пуассоновых многообразий была разработана уже Якоби. Дело в том, что Якоби шёл путём алгебраических многообразий — varieties, а не гладких многообразий — manifolds. А именно, его интересовало многообразие орбит гамильтоновой динамической системы. Как топологический или гладкий объект, оно имеет особенности и даже более неприятные патологии («нехаусдорфовость» и тому подобное) при запутанности орбит (фазовых кривых сложной динамической системы).

Но алгебра функций на этом (возможно, скверном) «многообразии» прекрасно определена: это просто алгебра первых интегралов исходной системы. По теореме Пуассона, скобка Пуассона двух первых интегралов — снова первый интеграл. Поэтому в алгебре интегралов имеется, кроме умножения, ещё одна билинейная операция — скобка Пуассона.

Взаимодействие этих операций (умножения и скобки) в пространстве функций на заданном гладком многообразии и делает его многообразием Пуассона. Формальные детали его определения я пропускаю (они несложны), тем более, что они не все выполнены в интересовавшем Якоби примере, где многообразие Пуассона и не гладкое, и не хаусдорфовое.

Таким образом, теория Якоби содержит исследование более общих многообразий с особенностями, чем современные пуассоновы гладкие многообразия, и к тому же эта теория построена им в стиле алгебраической геометрии колец и идеалов, а не дифференциальной геометрии подмногообразий.

Следуя совету Сильвестра, специалисты по пуассоновым многообразиям должны бы были, не ограничиваясь своей аксиоматикой, вернуться к более общему и более интересному случаю, рассматривавшемуся уже Якоби. Но Сильвестр этого не сделал (опаздывая, по его словам, на уходивший в Балтимор пароход), а математики более нового времени полностью подчинены диктату аксиоматистов.

Сам Колмогоров, решив задачу об оценках сверху промежуточных производных, понимал, что он может решать теми же приёмами Гюйгенса и Гамильтона и много других задач оптимизации, но он не стал этого делать, особенно когда Понтрягин, которому он всегда старался помогать, опубликовал свой «принцип максимума», являющийся, по существу, частным случаем того же принципа Гюйгенса забытой контактной геометрии, применённого, однако, к не самой общей задаче.

Колмогоров правильно думал, что Понтрягин не понимает ни этих связей с принципом Гюйгенса, ни связи своей теории с сильно предшествовавшей ей работой Колмогорова об оценках производных. И поэтому, не желая мешать Понтрягину, он нигде не писал об этой, хорошо ему известной, связи.

Но сейчас, я думаю, об этом можно уже сказать, в надежде, что кто-либо сумеет использовать эти связи для открытия новых результатов.

Поучительно, что неравенства Колмогорова между производными послужили основой замечательных достижений Ю. Мозера в так называемой КАМ-теории (Колмогорова, Арнольда, Мозера), позволивших ему перенести результаты Колмогорова 1954 года об инвариантных торах аналитических гамильтоновых систем на всего лишь триста тридцать три раза дифференцируемые системы. Так обстояло дело в 1962 году, при изобретении Мозером его замечательной комбинации сглаживания Нэша с методом ускоренной сходимости Колмогорова.

Сейчас нужное для доказательства число производных значительно снижено (прежде всего, Дж. Мезером), так что триста тридцать три производные, нужные в двумерной задаче об отображениях кольца, снизились до трёх (в то время как при двух производных найдены контрпримеры).

Интересно, что после появления работы Мозера американские «математики» пытались опубликовать своё «обобщение теоремы Мозера на аналитические системы» (каковое обобщение было просто опубликованной десятком лет раньше теоремой Колмогорова, которую Мозеру удалось обобщить). Мозер, однако, решительно положил конец этим попыткам приписать другим классический результат Колмогорова (справедливо заметив, впрочем, что Колмогоров никогда не опубликовал подробного изложения своего доказательства).

Мне казалось тогда, что доказательство опубликовано Колмогоровым в заметке в ДАН достаточно ясно (хотя он писал скорее для Пуанкаре, чем для Гильберта), в отличие от доказательства Мозера, где я не понимал одного места. Я даже переделал его в своём обзорном изложении замечательной теории Мозера в 1963 году. Впоследствии Мозер объяснил мне, что он имел в виду в этом неясном месте, но я и сейчас не уверен, были ли эти объяснения должным образом опубликованы (при моей переделке приходится выбирать s < e/3, а не e/2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).

Поучительно ещё, что «метод ускоренной сходимости Колмогорова» (правильно приписанный Колмогоровым Ньютону) использовался с аналогичной целью решения нелинейного уравнения А.Картаном за десять лет до Колмогорова, при доказательстве того, что теперь называют теоремой А теории пучков. Колмогоров ничего об этом не знал, а Картан указал это мне в 1965 году, и убедился в том, что Колмогорову можно было бы сослаться и на Картана (хотя ситуация у того в теории пучков была несколько проще, так как при решении линеаризованной задачи не было основной в небесной механике трудности резонансов и малых знаменателей, присутствовавшей у Колмогорова и у Пуанкаре). Не математический, а более широкий подход Колмогорова к своим исследованиям ярко проявился в двух его работах с соавторами: в статье с М. А. Леонтовичем о площади окрестности броуновской траектории и в статье «КПП» (Колмогорова, Петровского и Пискунова) о скорости распространения нелинейных волн.

В обоих случаях в работе присутствует и ясная физическая постановка естественнонаучной задачи, и сложная и нетривиальная математическая техника её решения.

И в обоих же случаях Колмогоровым выполнена не математическая, а именно физическая часть работы, связанная, прежде всего, с постановкой задачи и с выводом необходимых уравнений, в то время как их исследование и доказательство соответствующих теорем принадлежат соавторам.

В случае броуновских асимптотик эта трудная математическая техника включает исследование интегралов вдоль деформируемых путей на римановых поверхностях, с учётом необходимых для этого сложных деформаций контуров интегрирования при изменении параметров, то есть то, что сегодня называется либо «теорией Пикара-Лефшеца», либо «теорией связности Гаусса-Манина».

И всё это исследование асимптотик интегралов принадлежит М. А. Леонтовичу, замечательному физику (кстати, придумавшему, вместе со своим учителем Л. И. Мандельштамом, теорию, доставившую объяснение радиоактивного распада при помощи квантового туннельного эффекта прохода под барьером, причём опубликованная ими работа была впоследствии обобщена их уехавшим в США учеником Г.Гамовым³, под именем которого она теперь больше известна).

³ Мой земляк, одессит Г. Гамов более всего знаменит следующими тремя своими открытиями: теория альфа-распада, разгадка трёхбуквенного кодирования аминокислот основаниями в ДНК и теория «большого взрыва» при образовании Вселенной. Сейчас его замечательные книги доступны и русскому читателю (который долго не имел этой возможности вследствие невозвращения Гамова с Сольвеевского конгресса).

Упомянутая выше работа о броуновской траектории опубликована в собраниях сочинений как Леонтовича, так и Колмогорова. И в обоих изданиях сказано, что физическая часть работы принадлежит математику, а математическая — физику. Это объясняет много особенностей российской математической культуры.

Такая же ситуация и в работе «КПП» о скорости распространения экологических волн. Колмогоров рассказывал мне, что ему принадлежит в ней формулировка математической задачи (придуманной им при размышлении об экологической ситуации движения фронта распространения вида или гена в присутствии миграции и диффузии).

Математические приёмы решения (столь же нетрадиционные, как и сама задача) были разработаны И.Г.Петровским (для которого эта нелинейная работа — тоже скорее исключение). Статью же писал в основном Пискунов, без которого её тоже не было бы. Хотя эта замечательная работа о «промежуточных асимптотиках», как называл её Я. Б. Зельдович, широко известна прикладникам и постоянно используется, математикам она мало известна, несмотря на содержащиеся в ней совершенно оригинальные и блестящие идеи о соревновании волн, движущихся с разными скоростями.

Я давно жду, что серьёзный математик продолжит эти исследования, но пока что видел только «прикладников», прилагающих готовые результаты и не добавляющих новых идей и методов.

Великий прикладник Пастер говорил, что никаких «прикладных наук» не бывает, а есть только обычные фундаментальные науки, где открывают новые истины, и есть их приложения, где эти истины используются.

Для настоящего продолжения работы «КПП» нужно именно продвижение в фундаментальной науке.

Марат писал, что «из всех математиков самые лучшие — Лаплас, Монж и Кузен, которые всё вычисляют по заранее приготовленным формулам». Эта фраза — признак полного непонимания революционерами математики, главное в которой — свободное мышление вне рамок каких бы то ни было заранее заготовленных схем.

Чуть позже Марата Абель писал из Парижа, где провёл около года, что «со здешними математиками говорить ни о чём нельзя, так как каждый из них хочет всех учить и не хочет ничему сам учиться. В результате, — пророчески писал он, — каждый из них разбирается только в одной узкой области и ничего не понимает вне её. Есть специалист по теории тепла [Фурье], есть — по теории упругости [Пуассон], есть по небесной механике [Лаплас], и только один Коши [Лагранж жил в Берлине] мог бы что-нибудь понять, но он интересуется только своим приоритетом» [например, в применении комплексных чисел к предложенному Ламе решению проблемы Ферма путём разложения бинома xⁿ+yⁿ на комплексные множители].

И Абель, и (десятком лет позже) Галуа сильно вышли за рамки «готовых схем» (разработав, в случае Абеля, топологию римановых поверхностей и выводя из неё как невозможность решения уравнений пятой степени в радикалах, так и невыразимость в виде элементарных функций «эллиптических интегралов», вроде интеграла от квадратного корня из многочлена третьей или четвёртой степени, выражающего длину дуги эллипса, и обратных им «эллиптических функций»).

Поэтому Коши «потерял» рукописи обоих, Абеля и Галуа, так что сочинение Абеля о неразрешимости было опубликовано (Лиувиллем) лишь через десятки лет после того, как, по словам парижской газеты того времени, «этот бедняк вернулся в свою часть Сибири, называемую Норвегией, пешком — не имея денег на билет на корабль — по льду Атлантического океана».

Уже в XX веке знаменитый английский чудак Харди писал, будто «Абель, Риман и Пуанкаре прожили свои жизни зря, ничего не принеся человечеству».

Большая часть современной математики (да и большая часть всей применяемой физиками математики) — перепевы или развитие замечательных геометрических идей Абеля, Римана, Пуанкаре, пронизывающих всю современную математику, как единое целое, где, по словам Якоби, «одна и та же функция решает и вопрос о представлении чисел суммой квадратов, и вопрос о законе больших колебаний маятника», решая также и вопрос о длине эллипса, каковой эллипс описывает и движение планет, и кувыркание спутников, и конические сечения. А римановы, поверхности, абелевы интегралы, и дифференциальные уравнения Пуанкаре — это главные ключи к поразительному миру математики.

Колмогоров воспринимал как единое целое не только всю математику, но и всё естествознание. Вот пример его размышлений о миниатюризации компьютера, в качестве простейшей модели которого он рассмотрел граф (диаграмму, схему) из п вершин (шариков (фиксированного радиуса), соединённых каждый не более, чем с k другими (при помощи связей: «проволок» фиксированной толщины). Наибольшее число связей k каждой вершины он фиксировал, а число вершин п считал очень большим (в мозгу человека порядка 10¹⁰ нейронов). Вопрос о миниатюризации состоит в том, е какой наименьший шар можно уместить без самопересечений заданный граф с такими свойствами: как растёт с числом вершин п радиус этого минимального шара?

Одно ограничение очевидно: объём шара должен расти не медленнее, чем та, так как суммарный объём вершин-шариков растёт с такой скоростью, а их нужно все уместить.

Но удастся ли уместить и весь граф в шар радиуса, пропорционального корню кубическому из n. Ведь, кроме вершин, уместиться должны и связи! И хотя их число тоже порядка та, объём может быть гораздо больше, так как при больших та могут потребоваться и длинные связи.

Дальше Колмогоров рассуждал, представляя себе граф как мозг. Очень глупый мозг («червя») состоит из одной цепочки последовательно соединённых та вершин. Такой мозг легко уложить «змейкой» в «череп» радиусом порядка кубического корня из n.

При этом эволюция животных должна была стараться укладывать мозг экономно, уменьшая, по возможности, размер черепа. Как же обстоит дело у животных?

Известно, что мозг состоит из серого вещества (тела нейронов-вершин) и белого (связи: аксоны, дендриты). Серое вещество расположено вдоль поверхности мозга, а белое — внутри. При таком расположении по поверхности радиус черепа должен расти не как кубический, а быстрее, как квадратный корень из числа вершин (радиус гораздо больше, чем диктует объём шариков-вершин) .

Так Колмогоров пришёл к математической гипотезе, что и минимальный радиус должен быть порядка квадратного корня из числа вершин (исходя из того, что расположение клеток реального мозга эволюцией приведено в минимизирующее радиус черепа состояние). В своих публикациях Колмогоров сознательно избегал писать об этих биологических соображениях и вообще о мозге, хотя никаких доводов в пользу квадратного корня, кроме биологических, у него вначале не было.

Доказать, что каждый граф из n вершин можно уместить (при ограничении k на число связей вершины) в шар радиуса порядка квадратного корня из та, удалось (хотя это и нелегко). Это уже — чистая математика строгих доказательств.

Но вопрос о том, почему граф нельзя уложить в «череп» меньшего радиуса, оказался более сложным (хотя бы из-за того, что «нельзя» не всегда: «очень глупый» мозг червя укладывается в череп радиуса порядка кубического корня из n, что гораздо меньше, чем квадратный корень).

В конце концов, Колмогорову удалось полностью разобраться и с этой проблемой. Во-первых, он доказал, что вложения в «череп» меньшего, чем квадратный корень из n радиуса не допускает большинство «мозгов» из n «нейронов»: вложимые (вроде «одномерного» мозга в виде цепочки последовательно соединённых вершин) составляют ничтожное меньшинство из огромного общего числа n-вершинных графов (с ограниченным данной постоянной k числом связей каждой вершины).

Во-вторых, он установил замечательный критерий сложности, препятствующей вложимости в меньший «череп»: признаком сложности оказалась универсальность. А именно, граф с та вершинами называется универсальным, если он содержит в качестве подграфов (с несколько меньшим числом вершин) все графы из этого меньшего числа вершин (с ограниченным, конечно, той же постоянной k числом связей каждой вершины).

Слова «несколько меньшее число вершин» можно здесь понимать по-разному: как an или как n^a, где а меньше 1. При таком правильном понимании универсальности доказываются следующие два факта: во-первых, дл некоторого с = const любой универсальный граф с n вершинами оказывается невложимым в шар радиуса меньше, чем квадратный корень из n, а во-вторых, неуниверсалъные графы составляют ничтожное меньшинство (в огромном числе всех n-вершинных графов с указанным выше ограничением k на связи).

Иными словами, хотя глупые мозги и могут быть малыми, никакой достаточно умный мозг {или компьютер) невозможно уместить в малый объём, и, вдобавок, одна лишь достаточная сложность системы с подавляющей вероятностью уже обеспечивает возможность её хорошего {«универсального») функционирования, то есть её способность заменять («моделировать») все другие (почти столь же сложные, как она сама) системы.

Эти достижения составили одну из последних работ Андрея Николаевича (окончательные неравенства были получены им совместно с его учеником Бардзинем, в первоначальных неравенствах Колмогорова были лишние логарифмы, которые Бардзиню удалось убрать).

Отношение Колмогорова к логарифмам в асимптотиках было очень специфическим. Он объяснял студентам, что числа делятся им на следующие четыре категории:

• малые числа: 1, 2, …, 10, 100;
• средние числа: 1000, 1000000;
• большие числа: 10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰⁰;
• практически бесконечные числа: 10¹⁰¹⁰.

Логарифмирование переводит число в предыдущую категорию. Поэтому логарифмы в асимптотиках вроде n³ ln n  — это просто постоянные: n³ ln n при n = 10 — это практически 2п³, и рост логарифма настолько медлен, что им можно в первом приближении пренебречь, считая логарифм «ограниченным».

Конечно, всё это совершенно неверно с точки зрения формальной аксиоматической математики. Но это гораздо полезнее для практической работы, чем рафинированные «строгие рассуждения» и оценки, начинающиеся со слов «рассмотрим следующую вспомогательную функцию от восемнадцати аргументов» (после которых следует занимающая полторы страницы и неизвестно откуда взявшаяся формула).

Подход Колмогорова к логарифмам напоминал мне точку зрения Я.Б.Зельдовича на математический анализ. В своём учебнике анализа «для начинающих физиков и техников» Зельдович определял производную как отношение приращений функции и аргумента, в предположении, что последнее приращение не слишком велико.

На возражения правоверных математиков о том, что нужен предел, Зельдович отвечал, что «предел отношения» здесь непригоден, так как слишком малые (скажем, меньшие, чем 10^-10 метра или секунды) приращения аргумента брать нельзя, просто потому, что в таком масштабе свойства пространства и времени становятся квантовыми, так что их описание при помощи математического одномерного континуума R становится превышением точности модели.

«Математические производные» Зельдович воспринимал как удобные приближённые асимптотические формулы для вычисления действительно интересующего нас отношения конечных приращений, задающегося более сложной формулой, чем производные математиков.

Что касается «строгости» математиков, то Колмогоров никогда не переоценивал её значение (хотя и пытался ввести в школьный курс геометрии многостраничное определение понятия угла, чтобы, по его словам, придать строгий смысл «углу в 721 градус»).

Его лекции студентам и школьникам трудно было понимать не только из-за того, что ни одна фраза не заканчивалась, а половина не имела либо подлежащего, либо сказуемого. Ещё хуже то, что (как Андрей Николаевич мне объяснил, когда я начинал читать лекции студентам), по его глубокому убеждению, «студентам совершенно всё равно, что им говорят на лекциях: они только выучивают к экзамену наизусть ответы на несколько наиболее часто встречающихся экзаменационных вопросов, совершенно ничего не понимая».

Эти слова свидетельствуют о вполне правильном понимании Колмогоровым ситуации: с его лекциями происходило, для большинства студентов, именно то, что он описал. Зато те, кто хотел понять суть дела, мог при желании узнать из них гораздо больше, чем из стандартных дедукций вроде «х больше у, поэтому у меньше, чем х». Именно основные идеи и тайные пружины, скрываемые за «вспомогательными функциями от восемнадцати переменных», старался он сделать понятными, а вывод формальных следствий из этих основных идей он охотно оставлял слушателям. Особо затрудняло то, что Колмогоров во время своих лекций думал, и это было заметно слушателям.

Меня всегда поражало в Андрее Николаевиче благородное его желание видеть в каждом собеседнике по меньшей мере равный себе интеллект (из-за чего его и было так трудно понимать). При этом он прекрасно знал, что в действительности уровень большинства собеседников совсем другой. Андрей Николаевич назвал мне как-то только двух математиков, при разговоре с которыми он «ощущал присутствие высшего разума» (одним из них он назвал своего ученика И. М. Гельфанда).

На юбилее Андрея Николаевича Гельфанд сказал с трибуны, что он не только многому научился у учителя, но и бывал у него в Комаровке, деревне на берегу Клязьмы, вблизи Болшева, где Колмогоров жил большую часть времени (приезжая в Москву лишь на один-два дня в неделю).

Присутствовавший при этой речи Гельфанда Павел Сергеевич Александров, купивший вместе с Колмогоровым Комаровский дом (у семейства Алексеевых, то есть Станиславских) в конце 20-х годов, охотно подтвердил: «Да, Израиль Моисеевич действительно бывал в Комаровке, и был даже очень полезен, так как спас от сожжения в печке кошку».

Один из слушателей рассказал мне, что Гельфанд, уже сидящий в юбилейном зале, комментировал эти слова своему соседу так: «Эта кошка мяукала там в печи уже с полчаса, и я давно ее слышал, но истолковывал это мяуканье неправильно, не зная о кошке и приписыва звуки другому источнику».

Дикция Андрея Николаевича, действительно, была нелёгкой для восприятия; я, однако, чаще догадывался, что он хотел сказать, чем разбирал произнесённые им полуслова, так что мне эта дикция не мешала.

Всё же школьники в организованной Андреем Николаевичем в Москве в 1963 году математической школе-интернате N18 многому у него научились. Конечно, это были не рядовые школьники, а собранные со всей России и прошедшие летнюю школу в Красновидове на Можайском море победители математических олимпиад, и занимался с ними не только сам Андрей Николаевич, но и многие прекрасные преподаватели, например, математик Владимир Михайлович Алексеев, один из лучших школьных учителей Москвы Александр Абрамович Шершевский и так далее.

Особые усилия были приложены к тому, чтобы хорошо кормить и интересно преподавать не только математику, но и физику, литературу, историю, английский язык: интернат Андрей Николаевич воспринимал во многом как свою семью. Из первых выпускников большинство поступило в лучшие математические и физические вузы (с более успешным поступлением в Московский Физико-Технический Институт, чем на физический факультет Московского Университета, знаменитый, как говорил Колмогоров, «своим недоброжелательством» на экзаменах).

Сейчас многие из этих выпускников стали уже профессорами, заведующими кафедрами, директорами институтов; я не сомневаюсь в том, что кое-кто из них достоин выбора в Российскую Академию Наук и наград типа Филдсовской или Абелевской медалей.

Теорема Нехорошева, далеко обогнавшего Литтлвуда, давно стала классическим результатом в небесной механике и теории гамильтоновой эволюции динамических систем. Переехавший затем в Ленинград Ю. Матиясевич тоже начинал вместе с первыми московскими интернатцами-математиками в организованной Колмогоровым в Красновидове на Можайском море летней школе. А. Абрамов длительное время возглавлял институт, занимавшийся усовершенствованием математического образования школьников (но его борьба против попыток Министерства образования разрушить прекрасно работающую систему сделала его нежелательным для «реформаторов», обскурантистские идеи которых я описал выше, в начале этой статьи).

Один из слушателей первого выпуска интерната, В.Б.Алексеев, издал в 1976 году свои записи моих лекций в интернате 1963 года: «Теорема Абеля в задачах». В этих лекциях рассказал топологическое доказательство теоремы Абеля о неразрешимости в радикалах (комбинациях корней) алгебраических уравнений пятой степени {и более высоких степеней). В школе учат случай степени 2, но уравнения степеней 3 и 4 в радикалах тоже решаются.

Целью этих лекций было рассказать важный (и трудный) математический результат, связывающий много областей современных физики и математики, совершенно неподготовленным (но неглупым) школьникам в виде длинной серии понятных и доступных им задач, с которыми они бы сами справлялись, но которые привели бы их, в конце семестра, к теореме Абеля.

Для этого школьники быстро знакомились с геометрической теорией комплексных чисел, включая формулы Муавра (которые нынешние «реформаторы» пытаются из новых программ исключить), переходя затем к римановым поверхностям и к топологии, включая фундаментальную группу кривых на поверхности и группы монодромий (многозначностей) накрытий и разветвлённых накрытий.

Эти геометрические важнейшие понятия (которые можно было бы сравнить с атомарной теорией строения вещества в физике и химии или с клеточным строением растений и животных в биологии по их фундаментальности) приводят затем к алгебраическим столь же важным объектам: группам преобразований, их подгруппам, нормальным делителям, точным последовательностям.

В частности, появляются симметрии и орнаментов, и кристаллов, и правильных многогранников: тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, включая использованные Кеплером (для описания радиусов планетных орбит) конструкции вложений их друг в друга (восемь вершин куба можно разбить на две четвёрки вершин двух «вписанных» в куб тетраэдров, а в додекаэдр можно «вписать» пять кубов, вершины каждого из которых составляют часть вершин додекаэдра (у которого их двадцать), причём рёбра куба оказываются диагоналями пятиугольных граней додекаэдра, по одной на каждой из двенадцати граней). «Додека» — это как раз «двенадцать» по-гречески, а у куба двенадцать рёбер.

Эта замечательная геометрическая конструкция Кеплера связывает группу симметрии додекаэдра с группой всех ста двадцати перестановок пяти объектов (а именно, кубов). Она устанавливает, в алгебраических терминах, также и неразрешимость обеих этих групп (то есть их несводимость к коммутативным группам, каковая сводимость имеет место, например, для групп симметрии тетраэдра, куба и октаэдра и для групп перестановок трёх или четырёх объектов, вроде четырёх больших диагоналей куба и трёх диагоналей октаэдра). Коммутативные группы (где произведение — выполнение подряд — преобразований не зависит от их порядка) называются в алгебре абелевыми ввиду важности для его теории некоммутативности перестановок кубов.

А из неразрешимости группы монодромии уравнения пятой степени топологически выводится несуществование формулы, выражающей его корни через радикалы. Дело в том, что группа монодромии, измеряющая многозначность каждого радикала, коммутативна, а группа монодромии комбинации радикалов составляется из их групп монодромии так же, как разрешимая группа составляется из коммутативных. Так что все эти топологические соображения теории римановых поверхностей приводят к доказательству алгебраической теоремы Абеля (заложившей основы теории Галуа, названной так по имени молодого французского математика, перенесшего теорию Абеля из комплексной геометрии в теорию чисел и погибшего, не опубликовав ещё своей теории, на дуэли).

Глубокое единство всей математики очень ярко проявляется в этом примере взаимодействия топологии, логики, алгебры, анализа и теории чисел, создавшего новый плодотворный метод, при помощи которого позже была далеко развита физика теории квантов и теории относительности, а в математике была доказана также неразрешимость многих других задач анализа: например, задачи интегрирования с помощью элементарных функций и задачи явного решения дифференциальных уравнений при помощи операции интегрирования.

Тот факт, что все эти вопросы вляются топологическими, — совершенно поразительное математическое достижение, которое, по моему мнению, можно было бы сравнить с открытиями связи между электричеством и магнетизмом в физике или между графитом и алмазом в химии.

Быть может, наиболее известным результатом о невозможности в математике явилось открытие геометрии Лобачевского, центральный результат которой — невозможность вывести «аксиому параллельных» из остальных аксиом геометрии Евклида, её недоказуемость.

Поучительно, что Лобачевский этого результата о недоказуемости отнюдь не установил, а только провозгласил его как свою гипотезу, подтверждённую многостраничными (неудачными) попытками доказать аксиому параллельных, то есть придти к противоречию, исходя из противоположного аксиоме параллельных утверждения: «Через точку вне прямой проходит несколько {много) прямых, не пересекающихся с ней».

Доказательство того, что в возникающей из этой аксиомы Лобачевского геометрии противоречий не больше, чем в евклидовой (постулирующей единственность параллельной прямой), было найдено лишь после Лобачевского (по-видимому, независимо друг от друга несколькими авторами, включая Бельтрами, Больяи, Клейна и Пуанкаре или даже ещё Гаусса, высоко оценившего идеи Лобачевского).

Это доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского не просто; оно проводится при помощи предъявления модели геометрии Лобачевского, в которой выполняются именно его аксиомы. Одна из таких моделей («модель Клейна») изображает плоскость Лобачевского как внутренность круга, а прямые Лобачевского — как его хорды. Провести через точку круга много хорд, не пересекающихся с какой-либо данной хордой, не проходящей через эту точку, нетрудно. Проверка остальных аксиом геометрии в этой модели тоже не очень трудна, но трудоёмка, так как этих аксиом много. Например, «любые две точки внутри круга можно соединить прямой Лобачевского (хордой), и притом только одной» и так далее. Всё это явно проделано в учебниках и занимает много (скучных) страниц.

Продолжение модели Клейна плоскости Лобачевского за пределы круга, изобразившего в этой модели плоскость Лобачевского, доставляет релятивистский мир де Ситтера, но этот факт, к сожалению, мало кто понимает (как среди математиков, так и среди релятивистов).

Современные «реформаторы» курса школьной математики объявили о своём желании ввести туда геометрию Лобачевского (на что Колмогоров не решался). Но они не упоминают даже об её основном результате (скорее всего, не подозревая о нём) и не планируют доказывать тезис Лобачевского (без чего всё это предприятие становится просто рекламным трюком, патриотического, впрочем, оттенка).

В отличие от этих «реформаторов», Колмогоров пытался учить детей математике по-настоящему. По его мнению, для этого лучше всего подходит решение задач, например, олимпиадных, и он не раз организовывал математические олимпиады школьников, особенно настаивая на том, что это предприятие должно быть не только московским, но и охватывающим все города и даже деревни страны (сегодня олимпиады распространились и на весь мир, и успехи наших школьников на них — неоспоримое свидетельство всё ещё высокого уровня школ).

Он с удовольствием рассказывал мне, как радовалась учительница, входившая вместе с ним в жюри одной из московских олимпиад, вручая при торжественном награждении победителей в МГУ набор подарочных математических книг десятикласснику, получившему первую премию: «Как приятно, — говорила она, — что премию дали простому деревенскому школьнику из села Хотъково!»

Эта дама от педагогики не знала, что «простой деревенский школьник» был жившим в академическом посёлке Абрамцеве сыном академика, и Колмогоров, хоть и посмеялся, не стал ей этого объяснять.

Теперь этот «деревенский школьник» (бывший уже и тогда, в школе, моим учеником) — сложившийся самостоятельный математик, опубликовавший много работ и давно окончивший механико-математический факультет МГУ. Между прочим, он написал интересный комментарий к математической задаче А.Д.Сахарова о рубке капусты. Математике Сахаров учился в Университете у моего отца (о чём А.Д. тепло пишет в своих воспоминаниях), и после смерти Андрея Дмитриевича его коллеги мен попросили прокомментировать его математические рукописи (содержащие несколько десятков придуманных и продуманных им интересных чисто математических задач).

Задача о рубке капусты возникла у Андрея Дмитриевича вследствие просьбы жены нашинковать её, что начинается с разделения кочана ножом на круговые слои. Каждый слой делится затем случайными ударами ножа на много выпуклых «многоугольников».

Занимаясь этим трудом, Сахаров поставил себе вопрос: а сколько сторон у таких многоугольников? Некоторые из них треугольники, некоторые имеют много сторон. Вопрос был поэтому поставлен математически так: а каково среднее число сторон кусочка?

Сахаров пришёл каким-то (возможно, экспериментальным?) путём к (правильному) ответу: четыре.

При комментировании его рукописи для её издания моя итальянская ученица Ф.Аикарди пришла к такому обобщению этого утверждения Сахарова: при разрезании n-мерного тела большим числом случайных гиперплоскостей (плоскостей размерности n — 1) на выпуклые n-мерные многогранники, у получающихся кусочков среднее число граней любой размерности будет таким же, как у n-мерного куба. Например, в нашем обычном трёхмерном пространстве среднее число вершин кусочка равно 8, среднее число рёбер равно 12, а среднее число граней кусочка равно 6.

Во всяком случае, даже если школьникам в интернате и бывало порой трудно, польза от интерната была и остаётся огромной, неизмеримо, на мой взгляд, большей, чем от попыток Колмогорова модернизировать курсы математических наук с заменой классических учебников А. Киселёва новыми учебниками бурбакистского толка (с их современной терминологией, заменившей классические евклидовы «признаки равенства треугольников» малопонятными, хотя и логически предпочтительными, «признаками конгруэнтности»).

Это реформирование подорвало авторитет и школы, и учителей, и учебников, создав наукообразную иллюзию псевдознания, прикрывающую полное непонимание простейших фактов, вроде того, что 5 + 8 = 13. В проекте новой реформы заметны такие же тенденции одурачивания школьников, которым предлагается непонятная «геометрия Лобачевского» взамен исключаемых из обучения записи простых дробей десятичными и «текстовых арифметических задач» об экипажах, следующих из пункта А в пункт В, или о купцах, продающих сукно за топоры, или о землекопах и трубах, наполняющих водоёмы, — задач, на которых выучились думать предыдущие поколения.

Результатом «реформы» станет псевдообразованность, приводящая невежд к высказываниям вроде приписываемой Сталину критики одного политического деятеля: «Это не просто отрицательная величина, это отрицательная величина в квадрате!»

На одном из обсуждений проекта школьной реформы Учёным Советом Математического Института им. Стеклова РАН я упомянул, что хорошо было бы вернуться к прекрасным учебникам и задачникам Киселёва.

В ответ меня за это похвалила бывшая на этом заседании руководительница какого-то образовательного отдела: «Как я рада, что деятельность Киселёва получила поддержку столь квалифицированных специалистов!»

Позже мне объяснили, что Киселёв — фамилия одного из молодых подчинённых этой руководительницы, которая управляет школьной математикой, никогда и не слышав о переиздававшихся много десятков раз замечательных учебниках выдающегося гимназического учителя Киселёва. Учебники Киселёва, между прочим, не с самого начала были столь хороши. У первых изданий было много недостатков, но опыт десятков и сотен гимназических учителей позволил исправить и дополнить эти книги, ставшие (после какого-нибудь десятка первых изданий) монументальными образцами школьных учебников.

Андрей Николаевич Колмогоров смолоду тоже был школьным учителем (в школе на Потылихе), и столь успешным, что надеялся, что школьники изберут его (тогда избирать — это было обычным) своим классным руководителем. Но на выборах победил учитель физкультуры — это школьникам ближе.

Интересно, что в качестве учителя физкультуры в школе начинал свою деятельность другой великий математик, К. Вейерштрасс. Он, по словам Пуанкаре, особенно успешно обучал своих гимназистов работе на параллельных брусьях. Но прусские правила требовали от гимназического учител представлять в конце года письменный труд, доказывающий его профессиональную пригодность. И Вейерштрасс представил сочинение об эллиптических функциях и интегралах.

Это сочинение в гимназии никто не смог понять, так что его отправили для оценки в университет. И очень скоро автора перевели туда, где он быстро стал одним их самых выдающихся и знаменитых математиков столетия, как в Германии, так и в мире. Из российских математиков его прямой ученицей была Софья Ковалевская, главное достижение которой, впрочем, было не подтверждением, а опровержением точки зрения учителя (который предлагал ей доказать отсутствие новых первых интегралов в задаче о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки, а она эти интегралы нашла, анализируя причины неудачи своих попыток доказать предположение любимого учителя).

На Колмогорова оказанное школьниками учителю физкультуры предпочтение повлияло так: он стал гораздо больше заниматься спортом, много бегал на лыжах, плавал на лодках по далёким рекам, стал завзятым путешественником (и достиг одобрения хотя и не своих потылихинских учеников, но многих поколений сначала студентов МГУ, а потом и школьников созданного им Интерната).

Обычные каждодневные лыжные походы Колмогорова были примерно сорокакилометровыми, вдоль берегов Вори, примерно от Радонежа до монастыря в Берлюках, а иногда до Брюсовских Глинок у впадения Вори в Клязьму. Байдарочные и лодочные маршруты включали, например, Заонежье с его замечательной Святухой, озеро Серемо с реками Граничной, Шлиной, соединяющей этот район с Вышневолоцким водохранилищем, из которого вытекают и Мета (в Ильмень, Волхов, Свирь), и Тверца (текущая в Волгу), с дальнейшим плаваньем до Московского моря и Дубны.

Помню рассказы Андрея Николаевича об испугавшей его посреди Ильменя телеге, пересекавшей вброд многокилометровый залив, вызывавший затруднения у байдарки своими штормовыми волнами. Самое, вероятно, большое его путешествие начиналось на Севере с Кулоя, продолжаясь дальше по Печоре и Шугору до перевала через Урал, со спуском к Оби и подъёмом по ней до Алтая, где окончание этого многотысячекилометрового пути было уже то конным, то пешеходным «босиком по горным тропам».

Андрей Николаевич поразил мен своим умением быстро установить на байдарке самодельный косой парус из подручных материалов: это малоизвестная сегодня технология восходит, вероятно, к предшествующим Степану Разину волжским разбойникам.

Географические познания Андрея Николаевича были многообразны и необычны. Мало кто из москвичей знает, почему так называются Рогожска застава и улица Стромынка, почему станция Царицыно называлась (но больше не называется) Ленино, где находятся московские речки Рачка и Хапиловка, а он знал. Для интересующихся сообщу некоторые ответы:

Рогожская застава стоит у начала дороги в город Рогожу, который Екатерина II для благозвучия переименовала (в 1781 году) в Богородск (но который до сих пор ещё не переименовали опять в Китай-город, хотя и избавили от имени «Богородск» в революцию).

Стромынская дорога сейчас называется Щёлковским шоссе, но вела она в старинный город Стромынь (пригород которого сейчас называется Черноголовкой), по пути из Москвы в Киржач, Суздаль и Владимир. Царицыно построено ради руин, которых Екатерине в России не хватало и на которых теперь тренируются альпинисты.

На речке Рачке образован Чистый пруд. Что же касается Хапиловки, то она полноводнее Яузы на первом топографическом плане Москвы (1739 года), впадая в Яузу чуть выше Электрозаводского моста. Сейчас на ней заметен Черкизовский пруд, но как она течёт к нему через Гольяново от своего истока между Балашихой и Реутовым, я понять не смог.

Название «Ленино» происходит от имени дочки Кантемира, у которого Екатерина купила «Чёрную грязь», ставшую теперь Царицыным: он назвал именами своих дочек несколько окрестных, подаренных им, деревень.

Для Андрея Николаевича Колмогорова была характерной беззлобность по отношению к явно бессовестным оппонентам. Например, он утверждал, что Т.Д.Лысенко — добросовестно заблуждающийся невежда,и садился за его стол в столовой Академии Наук (откуда другие, начиная с печально знаменитой сессии ВАСХНИЛ 1948 года, старались пересесть за другие столы).

Дело в том, что Андрей Николаевич проанализировал как-то экспериментальную работу одной ученицы Лысенко по опровержению законов Менделя расщепления признаков [Н.И.Ермолаева, Яровизация, 1939, 2(23)]. В этом эксперименте были посеяны, кажется, 4000 семян гороха, и, согласно законам Менделя, ожидалось 1000 восходов гороха одного (рецессивного) цвета и 3000 другого (доминантного). В эксперименте же вместо 1000 оказалось только, если мне не изменяет память, 970 восходов рецессивного цвета и 3030 доминантного.

Вывод, который сделал Колмогоров из этой статьи, таков:

опыт проведен честно, наблюденное отклонение от теоретической пропорции имеет именно такой порядок величины, который следует ожидать при таком объёме статистики. Если бы согласие с теорией было лучшим, то это, как раз, свидетельствовало бы о нечестности эксперимента и подтасовке результатов.

Андрей Николаевич говорил мне, что полностью публиковать свои выводы он не стал потому, что успели появиться возражения классических генетиков, утверждавших, что они повторили эксперимент и получили точное согласие с теорией. Так что Колмогоров, дабы им не вредить, ограничился сообщением {ДАН СССР, 1940, 27(1), 38-42) о том, что проведённый ученицей Лысенко эксперимент вляется не опровержением, а прекрасным подтверждением законов Менделя.

Это, однако, не остановило Т.Д.Лысенко, объявившего себя «борцом со случайностью в науке», а тем самым и со всей теорией вероятностей и статистикой, а значит, и с их патриархом А, Н. Колмогоровым. Андрей Николаевич, однако, тратить время на споры с Лысенко не стал (следуя, видимо, совету Пушкина по поводу использования «здравых мыслей» и «кровавых путей», явно защищающему всех обскурантистов — и Лысенко, и нынешних «реформаторов» российской школы).

Влияние Колмогорова на всё развитие математики в России остаётся и сегодня совершенно исключительным. Я говорю не только о его теоремах, решающих подчас тысячелетние задачи, но и создании им замечательного культа науки и просвещения, напоминающего о Леонардо и Галилее. Андрей Николаевич открыл множеству людей огромные возможности употребить свои интеллектуальные усилия для фундаментальных открытий новых законов природы и общества, причём вовсе не только в области математики, а во всех областях человеческой деятельности: от космических полётов до управляемых термоядерных реакций, от гидродинамики до экологии, от теории рассеивания артиллерийских снарядов до теории передачи информации и теории алгоритмов, от стиховедения до истории Новгорода, от законов подобия Галилея до задачи трёх тел Ньютона.

Ньютон, Эйлер, Гаусс, Пуанкаре, Колмогоров —
всего пять жизней отделяют нас от истоков нашей науки.

* * *

Пушкин сказал как-то, что он оказал на юношество и российскую словесность больше влияния, чем всё министерство народного образования, несмотря на полное неравенство средств. Таким же было влияние Колмогорова на математику.

Я познакомился с Андреем Николаевичем в студенческие годы. Тогда он был деканом механико-математического факультета Московского университета. Это были годы расцвета факультета, расцвета математики. Уровня, которого достиг тогда факультет, благодаря прежде всего Андрею Николаевичу Колмогорову и Ивану Георгиевичу Петровскому, он более никогда не достигал и вряд ли когда достигнет.

Андрей Николаевич был замечательным деканом. Он говорил, что надо прощать талантливым людям их талантливость, и я мог бы назвать очень известных сейчас математиков, которых он тогда спас от исключения из университета.

Последнее десятилетие жизни Андрея Николаевича было омрачено тяжёлой болезнью. Сначала он стал жаловаться на зрение, и сорокакилометровые лыжные маршруты пришлось сократить до двадцатикилометровых.

Позже Андрею Николаевичу стало трудно бороться с морскими волнами, но он ещё убегал за забор санатория «Узкое» от строгого надзора Анны Дмитриевны и врачей, чтобы купаться в пруду.

В последние годы жизнь Андрея Николаевича была очень тяжёлой, иногда его приходилось буквально носить на руках. Все мы глубоко благодарны Анне Дмитриевне, Асе Александровне Букановой, ученикам Андрея Николаевича и выпускникам созданной им физико-математической школы-интерната N18 за круглосуточное дежурство в течение нескольких лет.

Порой Андрей Николаевич мог произнести лишь несколько слов в час. Но всё равно с ним всегда было интересно — помню, как несколько месяцев назад Андрей Николаевич рассказывал, как медленно летели трассирующие снаряды над Комаровкой, как он в 70 лет не мог выбраться из замерзающей Москвы-реки, как в Калькутте он впервые выкупал в Индийском океане своих тамошних учеников.

Это был всё тот же Андрей Николаевич — он вспоминал подробности байдарочного путешествия, которые я давно забыл, спорил со мной о деталях географии Франции, о взаимном расположении Каркассона и Перпиньяна — и был, как всегда, прав…

Из статьи: В. И. Арнольд. Несколько слов об Андрее Николаевиче Колмогорове. Успехи матем. наук, 1988, 43(6), с. 37; см. также в кн.:

Владимир Игоревич Арнольд. Избранное-60. — М.: ФАЗИС, 1997, с.629-630.

Источник